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高级傅里叶公式,傅里叶级数一般公式

2023年09月14日 08:44:55      来源:安徽思成仪器技术有限公司 >> 进入该公司展台      阅读量:39

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傅里叶基数是什么?

在數學中,傅立葉級數是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。详细内容随着时间慢慢返回老师了。

傅里叶级数的详细介绍?

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国,程民德系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数:

(j为虚数单位)(1)

其中,可以按下式计算:

(2)

注意到是周期为T的函数高级傅里叶公式,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。k=0时,(1)式中对应的这一项称为直流分量,时具有基波频率,称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下:

在任何周期内,x(t)须可积;

在任一有限区间中,x(t)只能取有限个值或最小值;

在任何有限区间上,x(t)只能有有限个类间断点。

吉布斯现象:在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是:

奇函数和偶函数

奇函数可以表示为正弦级数,而偶函数则可以表示成余弦级数:

只要注意到欧拉公式: ,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系高级傅里叶公式,如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个类间断点,那么如果f(x)满足封闭性方程:

(4),

那么级数 (5) 必然收敛于f(x),其中:

(6)。

事实上,无论(5)时是否收敛,我们总有:

成立,这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外,式(6)是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基,向量x在上的投影总为 。

如何理解傅里叶变换公式?

在数学上傅里叶变换是将信号在时间域与频率域之间进行变换,在我们的物理现实中,同一个信号在两个域都是同时存在的,只是看我们如何观察它。

比如太阳光是一种随时间变化的光波,但是透过雨雾我们可以看见彩虹:不同颜色的光波本质是不同频率的电磁波,只是雨雾帮我们做了个傅里叶变换,让我们看到了不同频率的光。

在比如空中的电磁波信号多不胜多,但是收音机帮我们做了傅里叶变换,让我们能够按照频率不同收听到不同的电台:交通台、音乐台和都市频道等等。

傅里叶变换公式就是对同一个信号随时间变化和随频率变化两者之间数量关系的一个定量描述。

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