傅里叶级数的几何意义–巧妙记忆公式的方法最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到傅里叶级数了我曾经觉得这个公式非常繁琐用到的时候就去翻书查看没法自己信心满满的写出来现在我找到诀窍了可以不需要任何参考书给我一个周期函数我可以马上写出它的傅里叶级数诀窍就在于从几何的角度来看待傅里叶级数当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时其实我们只是在做一个动作那就是把函数投影到一系列由三角函数构成的坐标轴上1什么是投影我们先来复习什么是投影吧考虑一个简单的二维平面的例子如下图所示给定两个向量u和v我们从u的末端出发作到v所在直线的垂线得到一个跟v同向的新向量p这个过程就称作u到v所在直线的投影得到的新向量p就是u沿v方向的分量图中的系数c是p跟v的比例也就是u在v轴上的坐标我们可以用尺规作图来完成投影这个动作问题关于同位角,内错角高级傅里叶公式高级傅里叶公式,同旁内角的题财税[2014]109号 关于促进企业重组有关企业所得税处理问题的国土资发[2016]191号关于进一步加快宅基地和集体建设用地确权登记发证有关问题的快递公司问题件快递公司问题件货款处理是如果给定的向量u和v都是代数形式的我们怎么用代数的方法求c我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题我们知道u-cv这个向量是正交于v的用数学语言表达就是u-cvTv0我们马上就可以得到c的表达式如下12向量在一组正交基上的展开在讲傅里叶级数之前我们还需引进线性代数中正交基的概念如果这个概念你觉得陌生就把它想成是互相垂直的坐标轴回到刚才这个例子如下图所示现在我们引进一组正交基v1v2那么u可以展开成以下形式2从图上来看2式其实说的是我们可以把u投影到v1和v2这两个坐标轴上c1和c2就是u的新坐标问题是我们怎么求c1和c2呢你会说我们可以2式两边同时乘以v1或v2然后利用它们正交的性质来求c1c2没错数学上是这么做的但是利用之前关于投影的讨论我们可以直接得出答案直接利用1式就可以得到如下的表达式33傅里叶级数的几何意义现在我们已经明白一件事情了如果想把一个向量在一组正交基上展开也就是找到这个向量沿每条新坐标轴的坐标那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了也就是把1式中的v换成新坐标轴就好了说了半天这些东西跟傅里叶级数有什么关系我们先回忆一下傅里叶级数的表达式给定一个周期是2l的周期函数fx它的傅里叶级数为4其中系数表达式如下5我不喜欢

记忆这些公式有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗答案是有的那就是从几何的角度来看傅里叶告诉我们fx可以用下面这组由无限多个三角函数包括常数组成的正交基来展开6这里我们需要在广义上来理解正交我们说两个向量或两个函数之间是正交的意思是它们的内积innerproduct为零内积在有限维的向量空间中的形式为点积dotproduct在无限维的函数空间中对于定义在区间[ab]上的两个实函数uxvx来说它们的内积定义为7正交基6中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴从几何角度来看傅里叶级数展开其实只是在做一个动作那就是把函数投影到一系列由三角函数构成的坐标轴上上面5式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标现在的问题是我们不能直接用1式来求这些坐标了因为它只适用于有限维的向量空间在无限维的函数空间我们需要把1式中分子分母的点积分别替换成7式那么5式中的所有系数马上可以轻松的写出8值得注意的是8式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行也就是说不管是[-ll]还是[02l]答案都是一样的有同学会说老师上课教的是对4式两边乘以1cosnπxl或sinnπxl然后积分利用这些函数之间的正交性来得到5式这些当然是对的而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解但是在应用上我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数把函数看成是无限维的向量把傅里叶级数跟几何中极其简单的投影的概念联系起来这样学习新知识就变得简单了而且可以毫无障碍的把公式记住甚至一辈子都难忘熟悉傅里叶级数的同学会问那么对于复数形式的傅里叶级数我们是否也能用几何投影的观点来看然后写出级数中的所有系数呢答案是肯定的给定一个周期是2l的周期函数fx它的傅里叶级数的复数形式为9其中系数表达式如下10这意味着我们用了下面这组正交基来展开原函数11我们之前提到了两个函数正交意思是它们的内积为零对于定义在区间[ab]上的两个复函数uxvx来说它们的内积定义为12其中v加上划线意思是它的共轭10中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系现在我们同样可以把原函数分别投影到11中的每个函数所

在的坐标轴来求出对应的坐标也就是系数cn13这里我想强调一下这个正交基的重要性在一个有限维的向量空间给定任何向量都可以被一组基展开它可以不必是正交的这个时候展开项中的系数也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标需要求解一个线性方程组来得到只有当这组基是正交的时候这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出也就是1式同样的在无限维的函数空间我们可以把一个函数在某个基中展开但是只有在正交基中展开项中的系数才能看成是函数投影的结果最后做一个总结不管是向量u还是函数u他们都可以被一组正交基vnn1N有限个向量或vnn1∞无限个函数展开如下14上式中的cn代表u在vn所在的坐标轴上投影产生的坐标而14式中内积的定义视情况而定在有限维的向量空间实数域向量u和v的内积是点积uTv在无限维的函数空间函数ux和vx的内积的通用形式是12如果它们是实函数那么12就可以简化成7的形式我们可以看到用几何投影的观点来看待傅里叶级数理解变得更加容易因为我相信所有人都能理解投影的概念同时傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住想要遗忘都难了我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系尝试着用不同的角度去看待同一个问题我相信这么做是很有好处的后记写于2013年3月28号这篇文章的核心思想其实是来自MIT的教授GilbertStrang写的《IntroductiontoLinearAlgebra》这本书第三版我在好几个月前重新学了一遍线性代数就是看MIT的开放课程授课老师是Gilbert他用的书就是上面提到这本我从没有如此享受过数学课以前学的数学课似乎老师更注重数学运算和推导而不是讨论数学背后的本质Gilbert的讲课方式讲究原理也就是"why而不是"how同时也有非常有趣的应用有兴趣的同学可以去听听这门课对于这篇文章提到的从几何观点来看傅里叶级数的思想相关内容可以在书本最后关于傅里叶级数的讨论中找到值得注意的是Gilbert默认函数周期是2PI而且没有涉及复数形式这篇文章主要是把几何投影与傅里叶级数的概念整合在了一起考虑了一般的周期函数同时涉及了傅里叶级数的复数形式希望能对一些朋友有所帮助